第2回: パスカルとギャンブラー

サイコロは過去を知らない ─ 確率とデータの本当の関係②

1654年、フランス。

数学者ブレーズ・パスカルは、一通の手紙を書いた。

宛先は、ピエール・ド・フェルマー。

同じく数学者。

手紙のテーマは、数学の難問ではなかった。

ギャンブルの問題だった。

「点の問題」

パスカルの友人に、シュヴァリエ・ド・メレという貴族がいた。

彼はギャンブル好きで、ある日パスカルに相談を持ちかけた。

「賭けを途中でやめたとき、賞金はどう分けるべきか？」

具体的には、こういう問題だった。

2人が賭けをしている。

先に3点取った方が賞金をもらう。

ところが、A が2点、B が1点の時点で、ゲームが中断された。

賞金は、どう分けるのが「公平」か。

単純な答えでは足りない

「2対1だから、賞金も2対1で分ければいい」

一見、これで良さそうに見える。

でも、パスカルは違う考え方をした。

「今後、ゲームが続いた場合の可能性を考えるべきだ」

Aは、あと1点取れば勝ち。

Bは、あと2点取らないと勝てない。

次のゲームでAが勝つ確率は？

次のゲームでBが勝ち、さらにその次も勝つ確率は？

これを計算すると、Aの勝率は3/4、Bの勝率は1/4になる。

計算してみよう。

次のゲームでAが勝つ確率は1/2（Aの勝ち確定）。

次のゲームでBが勝ち、さらにその次もBが勝つ確率は1/2 × 1/2 = 1/4。

つまり、Aの勝率は1/2 + 1/4 = 3/4。

だから、賞金は「3対1」で分けるべきだ。

確率論の誕生

パスカルとフェルマーは、この問題について手紙を交わした。

1654年の夏、数通の書簡。

この書簡のやり取りが、確率論の始まりとされている。

面白いのは、その動機だ。

高尚な数学的探求ではなく、「賭けをどう公平に分けるか」という、極めて実践的な問い。

確率論は、ギャンブルの数学として生まれた。

ヤコブ・ベルヌーイ

パスカルとフェルマーの後、確率論を大きく発展させたのが、スイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイだった。

彼は1713年に『Ars Conjectandi（推測術）』という本を出版した。

（出版は彼の死後）

この本の中で、ベルヌーイは「大数の法則」を証明した。

「試行回数を増やせば、観測された頻度は理論的な確率に近づく」

コインを10回投げると、表が7回出ることもある。

でも、1万回投げれば、表の割合は50%に近づいていく。

これを数学的に証明したのが、ベルヌーイだった。

ラプラスの確率論

1812年、フランスの数学者ラプラスが『確率の解析的理論』を出版した。

ラプラスは、確率をこう定義した。

「確率とは、起こりうる結果の数に対する、有利な結果の数の比である」

サイコロで1が出る確率は？

起こりうる結果：1, 2, 3, 4, 5, 6 の6通り

有利な結果：1 の1通り

確率 = 1/6

シンプルな定義だが、これが現代の確率論の基礎になった。

ラプラスはまた、「中心極限定理」も証明した。

多くの独立した要因が重なると、結果は正規分布（ベルカーブ）に従う。

これが、統計学の土台となった。

コルモゴロフの公理化

確率論が「数学」として完全に認められたのは、1933年のことだった。

ロシアの数学者アンドレイ・コルモゴロフが、確率論を公理化した。

たった3つの公理で、確率のすべてを定義した。

公理1: すべての確率は0以上

公理2: 全事象の確率は1

公理3: 互いに排反な事象の確率は、個々の確率の和

これにより、確率論は直感や経験ではなく、厳密な数学になった。

約300年の歴史

確率論の歴史を振り返ると。

• 1654年: パスカルとフェルマーの書簡（賭博問題）
• 1713年: ベルヌーイ『推測術』（大数の法則）
• 1812年: ラプラス『確率の解析的理論』（中心極限定理）
• 1933年: コルモゴロフの公理化

約300年かけて、「ギャンブルの数学」は「厳密な数学」になった。

ここまでの気づき

1. 確率論は「賭博問題」から始まった パスカルとフェルマーの1654年の書簡が起源。

2. ベルヌーイが「大数の法則」を証明した 試行回数が増えると、理論値に近づく。

3. 約300年かけて数学になった 1933年のコルモゴロフの公理化で、確率論は厳密な数学になった。

次回

ベルヌーイの「大数の法則」。

試行回数を増やせば、確率は収束する。

50%に近づいていく。

では、どれくらい増やせば、どれくらい正確になるのか。

「多ければ多いほど正確」

この常識は、本当に正しいのか。

次回: 50%に収束する世界 ─ 大数の法則と収穫逓減